父親が多額の借金を残して亡くなりました。父に財産は何もありません。私が借金を払わないといけないのでしょうか？

相続はプラスの財産だけではなくマイナスの財産も受け継ぎます。

しかし、相続人の意思に反して相続させることはできませんので、相続開始を知った時から３ヶ月以内に相続を承認するか、放棄するか選択しなければなりません。（民法915条１項）

相続を放棄すると、初めから相続人でないものと見なされます。ただし、借金を返済して財産が残ったとしても相続することはできません。

この「知った時」がいつからなのかということになりますが、最高裁判所は原則として「相続人となったことを知った時」とし、例外的に被相続人（この場合父親）の死亡時に借金が全くないと信じたことにきちんとした事情があるときに限り、３ヶ月を過ぎても「借金があったことを知った時」から起算することが認められています。（最高裁昭和59年4月27日判決）